趣味数学讲座①

数学好玩，玩出趣味

国际著名数学大师陈省身曾在2002年于北京召开的国际数学家大会上受邀为中国少儿数学论坛题词时，写下了“数学好玩”四个大字，以鼓励青少年学习数学的兴趣。这四个大字不啻为陈省身的真实写照。正因他觉得数学的好玩和奥妙而一生热爱数学，终而成为蜚声国际的数学大师。

而现实的情形是，数学对普罗大众而言仅限于日常生活的加减乘除基础运算，超出此范畴的数学概念如代数、微积分、质数、无理数等犹如一座无尽的迷宫般玄之又玄，令不少人望而却步，甚至产生排拒心理。然而，数学在人类文明迈入农业社会，拥有剩余资产后还是被广泛应用于贸易、度量、税务、预测天文等事项。直到16世纪的文艺复兴时期因与新科学的发现相互作用而加速了数学知识的革新。如今，随着社会大众对追求效率及科技需求的飞速提高，随处可见数学穿梭在科学、天文学、工程、医学和经济等诸领域的身影，对推动文明起着关键的作用而被冠以“科学之母”的荣誉（卡尔‧弗里德里希‧高斯）。

谈起数学予一般人的刻板印象，皆不约而同地表示其艰深的符号及概念、运算逻辑更加剧了理解和掌握的难 度。据知，我们目前所使用的数学符号都是在16世纪以后才被发明的，这些迥异于日常用语的数学符号是为了能更严谨而精确地讨论和研究数学。

从哥尼斯堡七桥问题谈起

为了消除学生们对数学的刻板印象（枯燥、乏味）和恐惧感，林博士放弃使用过多的数学符号和概念，代之以互动游戏（如猜年龄等）引起学生的兴趣，寓教于乐。

无独有偶，许多新事物的灵感和创发皆源自游戏，譬如现今被广为应用的电信网络、电力网络、运输路径、电脑程序设计、电路板设计、图案辨识、地图着色等正是得益于一场名为“哥尼斯堡七桥”的游戏。

18世纪，苏联有个叫哥尼斯堡(Konigsberg) 的城市，城中有一条横贯城市的布勒格各河(Pregel)，河上 有七座桥。生活富足的市民喜欢在闲暇时沿河散步。后来有人提问：是否能一次走遍七座桥，而且每座桥只许走一次，最后再回到出发点？看似简单的问题却无人能解。这问题后来被瑞士数学家列昂哈德‧欧拉(Leonhard Euler) 解答了，并向圣彼得科学院提交论文，从此奠定了图论的基础。图论的核心是“一笔画原理”。欧拉首先把这七座桥化为数学图形，用七条线代表哥尼斯堡的七座桥，看是否能一笔画出上述图形并最后回到起点。经过实践，欧拉证明了不可能一笔画出该图形，因为能够一笔画的图最多有两个奇点或全是偶点，没有奇点或毫无奇点。

起初，图论主要研究迷宫问题、博弈问题和棋盘上马的行走路线等游戏问题，而在19世纪迈入两个里程碑——四色定理(Four Colour Theorem) 和哈密顿图(Hamiltonian Path)。

四色定理

四色定理是近代三大数学难题之一，困扰了数学家一个多世纪。当时一个负责地图着色的伦敦人提出：是否能够只用四种不同的颜色给平面的或球状的地图着色就可明了地区分相互接壤的国家？问题最后被阿佩尔(Apel) 和哈肯(Haken) 透过电脑耗费了1200个小时宣告其可能性。这也是首个由电脑证明的理论。但是，由于其证明方式缺乏数学应有的规范（无法由人工验证）而遭到部分数学家的抨击。此外，现实中的地图经常会出现飞地，若依从规则填色未免有所不足。虽然如此，“四色定理”的研究依然把数学理论驱向新境界，并将相关的计算技巧运用于设计航空班机的日程表、电脑编码设计等。

哈密顿图

另一个以威廉‧哈密顿爵士(Sir William Hamilton) 命名的无向图也与“绕行世界”相关。这项数学命题要求人们由指定的起点前往指定的终点，沿途经过所有节点且不能重复。这种图论又被称为“哈密顿回路”或“哈密顿路径”。推而广之，此演算模式可为邮递员、推销员和背包客在设计路线方面提供便利，进而间接节省能源、时间和精力。

逾越本份，思域的异彩

在纯粹的演算之外，有者更尝试把数学的逻辑和思维模式精炼到哲学的层次，令其在人文或艺术领域中大放异彩。其中的佼佼者当属埃舍尔(Escher)，其画作的表达形式具有数学哲学的内涵。这位从未接受任何正式数学训练的艺术家的作品使得到许多数学家赞叹，诺奖得主杨振宁教授更以《骑士》作为其科学论著的封面。

骑士　　　　　　　　                            天使与魔鬼

《骑士》是一幅形诸于黑白对比和互嵌技巧的作品。其它如《天使与魔鬼》、《圆之界限》、《天和水》、 《昼与夜》等同样颇具视觉魅力的作品均赋予几何图形以灵动的生命力，使天使和魔鬼、鱼与鸟互为背景。这些奇幻迷离的版画既把对称美发挥得淋漓尽致，同时也提醒人们视域的局限性（把天使与魔鬼、鱼和鸟并置于同一空间中，但绝大多数人仅能在图中辨识出一种图像而已，由此可见人们的经验常囿于二元对立、非此即彼的思维定势中），一针见血地揭示了客观透视的虚妄与自以为是。正如叔本华所言：“每个人都把自己视野的极限当做世界的极限。”正因如此，数学（科学）的训练可协助我们克服大脑先天的盲点，增进解决问题的能力。

昼与夜

有学生在交流时段问及：既然学习数学须调动极强的逻辑思辨能力，那无法掌握数学是否等同于逻辑不好？林博士表示，也许每个人在某个方面拥有较高的禀赋，可是天赋只是点燃人们兴趣的发动机而已，对一门学科的学习和掌握则需大量的专注和努力。而教师在授业与解惑方面扮演了重要角色。他表示为师者可因材施教，设计灵活有趣的教案来启发学生，带动课堂学习。在这几场讲座，林博士多次强调数学并不局限于课本上的知识，学习灵活多变的思维方法尤其重要。

〖注〗
①：本文整理自林忠强博士在吉兰丹中华独中、沙捞越古晋一中、诗巫省华文独中董联会大厦和第一 届陈嘉庚青少年发明奖所举办的几场讲座的内容。

林忠强博士简介

◇ 1966年：获新加坡南洋大学理学士学位（数学），随后负笈加拿大沙斯克澈湾大学深造。
◇ 1967年：取得硕士学位，并获加拿大国家研究理事会奖学金到麦基尔大学(McGill University) 攻读博士学位（数学）。
◇ 1971年：受聘回国担任马来亚大学数学系讲师，在马大任职期间升任教授。
◇ 1999年至今：荣膺马来西亚数学协会首位院士荣誉。此外，也多次受邀到海外大学担任访问学者、客座副教授（加拿大多伦多大学）和客座教授（日本东京上智大学）、曾任马来西亚数学协会及东南亚数学协会会长。目前是南大教育与研究基金会的执行董事。